Простое число — целое положительное число, большее единицы, не имеющее других делителей, кроме самого себя и единицы: 2,3,5,7,11,13, ... Натуральное число, имеющее больше двух делителей, называется составным. Таким образом, все натуральные числа, за исключением единицы, разбиваются на простые и составные. Понятие простого числа является основным при изучении делимости натуральных чисел; именно, основная теорема тории делимости утверждает, что всякое целое положительное число, кроме 1, единственным образом разлагается в произведение простых чисел (порядок сомножителей при этом не принимается во внимание). Простых чисел бесконечно много (это предложение, называемое теоремой Евклида, было известно ещё древнегреческим математикам, его доказательство имеется в кн. IX «Начал» Евклида). Петер Дирихле (1837) установил, что в арифметпч. прогрессии a + bx при x=1,2, ... с целыми взаимно простыми a и b также содержится бесконечно много простых чисел. Для нахождения простых чисел от 1 до x служит известный с 3 в. до н. э. метод решета Эратосфена. Рассмотрение последовательности простых чисел от 1 до x показывает, что с увеличением x она становится в среднем более редкой. Существуют сколь угодно длинные отрезки ряда натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого числа. В то же время встречаются такие простые числа, разность между которыми равна 2 (близнецы). До сих пор (1987) неизвестно конечно или бесконечно множество таких близнецов. Таблицы простых чисел, лежащих в пределах первых 11 миллионов натуральных чисел, показывают наличие весьма больших близнецов (например, 10 006 427 и 10 006 429).
